Заседания ММО

2013/2012   |||   2012/2011   |||   2011/2010   |||   2010/2009   |||   2009/2008   |||   2008/2007   |||   2007/2006   |||   2006/2005   |||   2005/2004

 22 мая 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А. В. Устинов
Зачем нужны статистики Гаусса–Кузьмина?

Аннотация. В одной из задач В. И. Арнольда поставлен вопрос о поведении неполных частных в цепных дробях, в которые разлагаются рациональные числа. Было предположено, что для рациональных чисел цепные дроби в среднем устроены так же, как и для почти всех действительных чисел. Например, вероятность того, что неполное частное равно $n$, есть $\log_2(1+1/(n(n+2)))$. Гипотеза оказалась верной, а её доказательство в последствии привело к решению других задач. В докладе планируется рассказать о приложениях гипотезы Арнольда связанных с анализом различных вариантов алгоритма Евклида, задачей Синая о статистических свойствах траекторий частиц в двумерных кристаллических решётках и распределением чисел Фробениуса.

19:30

Совместное заседание ММО и конференции «Александровские чтения», посвященное памяти П. С. Александрова. На заседании выступят: Е. А. Морозова, А. А. Мальцев, Е. В. Щепин

 24 апреля 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А. И. Эстеров
Дискриминант системы уравнений

Аннотация. Многие геометрические объекты можно рассматривать как обобщения дискриминанта и результанта многочлена одной переменной: дискриминант Гельфанда–Капранова–Зелевинского для многочлена многих переменных, дискриминант деформации изолированной особенности, sparse результант в символьной алгебре и т.д. После краткого обзора их определений, свойств и мотивировок будет предложено еще одно обобщение — дискриминант системы уравнений, «интерполирующий» вышеперечисленные понятия, наследующий многие их интересные свойства и не наследующий трудности.
   Назовем систему алгебраических уравнений типичной, если топологический тип множества ее решений не меняется при шевелении ее ненулевых коэффициентов. Тогда (за исключением очевидных бессодержательных случаев) множество всех нетипичных систем является гиперповерхностью, уравнение которой и предлагается называть дискриминантом исходной системы.
   Тот факт, что нетипичные уравнения образуют гиперповерхность, был замечен Гельфандом, Капрановым и Зелевинским, но для систем доказательство наталкивается на неожиданные сложности комбинаторики многогранников и сводится к другому факту о чистоте размерности, но уже для тропических многообразий. Это новый пример загадочного сходства между классической алгебраической геометрией и тропической (над $R$ с операциями + и min), которое уже научились использовать для угадывания и красивой формулировки ответов, но еще так и не научились удовлетворительно объяснять.
   Доклад не требует специальных знаний и, по модулю отдельных замечаний, будет доступен студентам.

 10 апреля 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А. В. Булинский
Новые статистические методы и их применение к анализу генетических данных

Аннотация. Считается, что сложные заболевания (такие как диабет, болезнь Альцгеймера и другие) обусловлены как генетическими, так и внешними факторами риска. Очень сложной является задача выявления наиболее значимых наборов факторов, способных вызвать то или иное заболевание. В докладе рассматриваются различные постановки этой задачи. В частности, доказана оптимальность определенных стохастических алгоритмов, опирающихся на кросс-валидацию. Для этого используются варианты законов больших чисел в схеме серий. Большое внимание уделяется многофакторному понижению размерности (MDR-методу), введенному M. D. Ritchie et al. Установлена теорема, дающая обоснование для применения этого метода. Кроме того, получена новая версия метода MDR «с независимым правилом», предложенная докладчиком и его соавторами. Обсуждаются и различные варианты метода логической регрессии, инициированного I. Ruczinski et al., а также возможности современных методов стохастической оптимизации (метод отжига). Затрагиваются также методы машинного обучения. Нами показано, что сочетание техники кросс-валидации, бутстрэпа и некоторых усреднений сглаженных оценок позволяет повысить качество оценивания функции отклика.
   Указанные выше методы и подходы используют аппарат теории графов, марковские и гиббсовские случайные поля, а также комбинаторный анализ. Их применение будет продемонстрировано при изучении влияния генетических данных (нуклеотидных полиморфизмов) и внешних факторов на риски сердечно-сосудистых заболеваний. Это исследование было начато в 2010 году в рамках общего проекта, осуществляемого в сотрудничестве с факультетом фундаментальной медицины МГУ (руководители проекта академики РАН В. А. Садовничий и В. А. Ткачук). При реализации разрабатываемых методов был использован суперкомпьютер МГУ «Чебышев».

Фотогалерея

 3 апреля 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Доклад из цикла «СТУДЕНЧЕСКИЕ ЧТЕНИЯ».

Н. Г. Мощевитин
О некоторых нерешенных проблемах теории диофантовых приближений

Аннотация. Будет рассказано о некоторых известных нерешенных проблемах, таких как проблема Литтлвуда в геометрии чисел, проблема Зарембы в теории цепных дробей, проблема Салема о коэффициентах Фурье функции Минковского. Предполагается рассказать и о некоторых новых и не столь известных задачах.
   В докладе будут затронуты вопросы связанные с геометрией наилучших диофантовых приближений, с неравенствами для диофантовых экспонент и с плохо приближаемыми системами чисел.
   Будет рассказано о задачах В. М. Шмидта, сформулированных им в лекции "Open problems in Diophantine approximation" на конференции в Люмини (1982) и о дальнейшей судьбе этих задач, три из которых были решены докладчиком. Также будет рассказано о задаче В. М. Шмидта о последовательных минимумах решеток, сформулированной им во время визита в Москву в мае 2011 года.
   У докладчика в архиве имеется обзор, связанный с тематикой предполагаемого выступления и доступный по адресу http://arxiv.org/abs/1202.4539.

Фотогалерея

 27 марта 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Р. Н. Карасев
Метод Громова в задачах дискретной геометрии

Аннотация. В 2010 году Михаил Громов опубликовал статью, в которой он разработал новый топологический подход (стягивание в пространстве циклов) к некоторым задачам дискретной геометрии. Типовая задача имеет следующий вид: в евклидовом пространстве размерности $d$ рассматриваются независимые случайные точки в количестве $d+1$, и хочется показать, что некоторая точка всегда покрывается выпуклой оболочкой этих случайных точек (симплексом) с вероятностью не менее $p_d>0$, зависящей только от размерности. Это утверждение было известно и ранее, но метод Громова увеличил известное значение $p_d$ до $1/(d+1)!$ с возможностью дальнейшего улучшения.
   Автору удалось существенно упростить доказательство приведенного выше факта, а также доказать аналогичным методом утверждение о размере связных одноцветных компонент раскраски куба. Эти утверждения будут изложены с доказательствами.

Фотогалерея

Татьяна Смирнова-Нагнибеда
Динамика модели песчаных куч и самоподобные группы

Аннотация. Абелева модель песчаных куч (Abelian sandpile model) была построена физиками для изучения феномена самоорганизованной критичности. Модель определяется с помощью очень простой игры на конечном графе, но ведет к сложной динамике, если рассматривать ее на возрастающих последовательностях графов. Физиками предсказаны значения критических показателей модели на кубических решетках, но строгое математическое обоснование этих предсказаний пока что получено только в случае бесконечного дерева. Будет дано введение в математическую теорию модели песчаных куч и рассказано о том, как теория самоподобных групповых действий позволяет строго вычислить критические экспоненты модели на широком классе самоподобных графов, связанных с хорошо известными фракталами.
   Теория самоподобных групп была развита Некрашевичем на основании работ Григорчука и соавторов по построению конечно порожденных групп с экзотическими свойствами, например, групп промежуточного роста. Самоподобные группы задаются своим действием на бесконечном корневом дереве и могут быть описаны с помощью конечных автоматов. Многие такие группы тесно связаны с динамикой рациональных функций и их множествами Жюлиа.

Фотогалерея

 13 марта 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Herbert Edelsbrunner
Persistence, cell segregation, and Alexander duality for functions

Аннотация.
   Part 1. Persistent homology is a recent extension of the classical theory of homology in algebraic topology. Assuming a filtered sequence of spaces, it quantifies the interval along which a homology class is alive. This extension is critically important in applications of homology to shapes that arise in nature.
   Part 2. Cells in the embryo rapidly progress, moving around, dividing, getting into formation. We consider a particular segregation process within early zebrafish embryos, which can be observed, in 3D, using multi-colored fluorescent markers. We present a topological approach toward a detailed phenotypical characterization of the process, which we model as a shape in 4-dimension space-time. (Joint work with Carl-Philip Heisenberg, Michael Kerber, and Gabby Krens.)
   Part 3. The analysis focuses on the time-function on the space-time shape. It motivates a generalization of the classic Alexander Duality from spaces to functions. Specifically, consider a decomposition of the $(n+1)$-sphere into spaces U and V whose intersection is an $n$-manifold, M. Alexander duality relates the homology of $U$ and $V$, and combined with the Mayer-Vietoris exact sequence, it relates the homology of $M$ and $U$. This talk presents extensions of these relations to real-valued functions. (Joint work with Michael Kerber.)

Фотогалерея

 6 марта 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Доклад из цикла «СТУДЕНЧЕСКИЕ ЧТЕНИЯ»

В. А. Тиморин
Обобщения «основной теоремы проективной геометрии» (теоремы Мебиуса)

Аннотация. В докладе речь пойдет об обобщениях классической теоремы Мебиуса (1827): непрерывное преобразование проективного пространства, переводящее прямые в прямые, является проективным преобразованием. Например, описание локальных преобразований, переводящих отрезки прямых в дуги окружностей, очень нетривиально зависит от размерности (в описании возникают классические геометрии, кватернионные расслоения Хопфа, представления алгебр Клиффорда) и в большинстве размерностей неизвестно. В докладе будет рассказано об отображениях, переводящих отрезки прямых в части коник, или в части плоских кривых, а также дан исторический обзор результатов, начиная с 1827 года.
   Для понимания доклада необходимо знать, что такое проективное пространство, проективные преобразования и комплексные числа. Вниманию студентов будут предложены исследовательские задачи с понятными формулировками.

Фотогалерея

 28 февраля 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Л. Д. Беклемишев
Алгебры доказуемости

Аннотация. Аксиоматические системы, такие как арифметика Пеано и теория множеств Цермело–Френкеля, были придуманы в начале XX века как строгая математическая модель понятия доказуемости. Такая модель нужна, если мы хотим установить недоказуемость того или иного утверждения из тех или иных аксиом. Её изучением занимается особое направление в математической логике – теория доказательств.
   Первые примеры недоказуемых и неопровержимых элементарно-арифметических утверждений были обнаружены Гёделем. Однако вплоть до конца 1970-х годов все известные факты такого рода были получены либо путем арифметического кодирования некоторых утверждений из самой логики, либо относились к свойствам бесконечных множеств (наиболее известный пример – гипотеза континуума). В 1977году Дж. Парис и Л. Харрингтон нашли первые примеры недоказуемых в арифметике Пеано естественных утверждений из конечной комбинаторики. С~тех пор были обнаружены и другие подобные утверждения, однако до сих пор таких примеров известно сравнительно мало.
   В докладе будет рассказано об одном простом варианте комбинаторного утверждения, независимого от аксиом арифметики, найденного докладчиком, а также об идеях, на которых он основан.
   Эти идеи связаны с общим подходом к изучению аксиоматических систем с алгебраической точки зрения. Будут описаны алгебраические структуры, возникающие при изучении формальной доказуемости, и приведены некоторые применения этих структур к вопросу о порядках роста вычислимых функций в арифметике. Также будет рассказано о топологической точке зрения на алгебры доказуемости, которая приводит к изучению некоторого специфического класса «разреженных» пространств.
   Специальных знаний по математической логике для понимания доклада не требуется.

Фотогалерея

 21 февраля 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Заседание посвящено столетию со дня рождения Л. В. Канторовича

На заседании выступят:
В. М. Тихомиров, «О математическом творчестве Л.В.Канторовича»;
В. М. Полтерович, «Теория оптимального распределения ресурсов Л.В.Канторовича в истории экономической мысли»;
В. И. Богачев, «Современное развитие теории Монжа–Канторовича».

Фотогалерея

 14 февраля 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А. А. Приходько
Комбинаторные свойства динамических систем, спектр и квантовые солитоны

Аннотация. Речь пойдет о динамических системах, заданных преобразованием или действием группы, сохраняющим меру в фазовом пространстве. Б. Купман, Дж. фон Нейман и др. (1931–32) предложили сопоставить динамической системе унитарный оператор (унитарное представление) в гильбертовом пространстве квадратично суммируемых относительно инвариантной меры комплекснозначных функций. Спектральные инварианты этого унитарного оператора называются спектром динамической системы. В то же время преобразование с инвариантной мерой, как правило, можно ассоциировать со случайным процессом $x_k$, генерирующим бесконечное слово над конечным алфавитом.
   Долго оставался открытым вопрос о том, определяет ли спектр динамическую систему однозначно с точностью до изоморфизма? Знаменитый результат А. Н. Колмогорова (1958) гласит, что существует инвариант комбинаторной природы (метрическая энтропия), определяемый в терминах структуры последовательности $x_k$ и позволяющий различить динамические системы, обладающие одинаковым спектром. Характерным примером является процесс Бернулли — последовательность независимых случайных величин $x_k$, принимающих значения 1 и 0 с вероятностью $p$ и $1-p$. Унитарный оператор для такой системы имеет спектр бесконечной кратности, причём спектральная мера системы эквивалентна мере Лебега на [0,1] при любом $p$.
   С. Банах сформулировал открытый и по сей день вопрос о том, существует ли преобразование, обладающее лебеговской спектральной мерой и в то же время спектром кратности один? В докладе будет рассказано о конструкции эргодического потока — однопараметрического семейства преобразований, дающего положительный ответ к гипотезе Банаха для действий группы $R$, и о том, как данная динамическая система связана с вопросом Дж. Литтлвуда (1966) о плоских тригонометрических полиномах и солитонными решениями некоторых квантовых систем. Обобщая обнаруженное явление, мы расскажем о новых аналитических и комбинаторных эффектах, связанных с проблемой исследования спектрального типа символических динамических систем.
   Специальных знаний для понимания содержания доклада не требуется.

Фотогалерея

 13 декабря 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

И. В. Аржанцев
Локальные алгебры и аддитивные структуры на проективных многообразиях

Аннотация. Пусть $C$ – аддитивная группа поля комплексных чисел. Будем называть аддитивной структурой на $n$-мерном комплексном проективном многообразии $X$ регулярное действие группы $C^n$ на $X$ с открытой орбитой. Аддитивная структура позволяет рассматривать $X$ как эквивариантную компактификацию группы $C^n$. Тем самым мы получаем аддитивный аналог теории торических многообразий.
   В 1999 году Брендан Хассетт и Юрий Чинкель установили замечательное соответствие между аддитивными структурами на проективных пространствах и локальными конечномерными алгебрами. Из этого соответствия следует, что при $n > 5$ число классов эквивалентности аддитивных структур на $n$-мерном проективном пространстве бесконечно. Также соответствие Хассетта–Чинкеля позволяет определять полезные числовые инварианты локальных алгебр. В этих терминах удается решить некоторых задачи линейной алгебры, связанные с классификацией наборов коммутирующих нильпотентных операторов.
   В докладе мы подробно обсудим элементарную версию соответствия Хассетта–Чинкеля и ее обобщение, которое приводит к классификации аддитивных структур на проективных гиперповерхностях. Будут рассмотрены аддитивные структуры на многообразиях флагов полупростых алгебраических групп и на торических многообразиях. Также мы опишем возможные применения этого метода для изучения компактификаций произвольных коммутативных линейных алгебраических групп.
   Никаких специальных знаний у слушателей не предполагается.

Фотогалерея

 29 ноября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Жан-Франсуа КЭН (Jean-Francois Quint)
Случайные блуждания на однородных пространствах

Аннотация. Замыкание всякой однопараметрической подгруппы тора есть тор. В 1990-х годах М. Ратнер доказала следующий некоммутативный аналог этого наблюдения. Для заданной группы Ли $G$ (например, $G = SL(d,R))$ и решетки $\Lambda$ в ней (например, $\Lambda = SL(d,Z)$) рассмотрим действие подгруппы $\Gamma$ на фактор-пространстве $G/\Lambda$. Теорема Ратнер утверждает, что если подгруппа $\Gamma$ порождена унипотентными элементами, то замыкание всякой ее орбиты однородно, т.е. является орбитой замкнутой подгруппы. Теорема Ратнер имеет много приложений в разных областях математики, например, в теории чисел.
   В докладе будет представлен совместный результат Ива Бенуа и докладчика, обобщающий теорему Ратнер на довольно широкий класс подгрупп $\Gamma$: требуется только, чтобы образ подгруппы $\Gamma$ под действием присоединенного представления группы $G$ имел полупростое замыкание по Зарискому без компактных факторов. Доказательство опирается на исследование случайного блуждания на $G$. Этот результат был недавно применен в совместной работе А. Эскина и М. Мирзахани о замыканиях $SL(2,R)$-орбит в пространствах модулей.
   Предварительных знаний у слушателей не требуется. Доклад будет проходить на английском языке.

Фотогалерея

 15 ноября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Ф. Ф. Воронов
Супергеометрия и скобки

Аннотация. В докладе рассматривается связь геометрических структур на супермногообразиях таких, как гомологические векторные поля, со скобками Пуассона, алгебрами Ли и их обобщениями (гомотопические алгебры Ли и алгеброиды Ли). Все необходимые понятия будут введены по ходу изложения и предварительное знакомство с ними не предполагается.
   В первой части доклада мы покажем, как при описании дифференциально-геометрических объектов на обычном многообразии естественно возникают супермногообразия. Введение супермногообразий имеет здесь такое же преимущество, как переход от компонентной записи уравнений Максвелла к инвариантному языку векторного и тензорного анализа. Эта аналогия не случайна: в современной математической физике супергеометрия является стандартным языком, удачно дополнившим классические тензорные обозначения. Потом мы определим «гомологические векторные поля» на супермногообразии. Это понятие обладает большой унифицирующей силой: гомологические векторные поля играют роль производящих функций разнообразных алгебраических и дифференциально-геометрических объектов. Примером служат обычные алгебры Ли, для которых на языке гомологических векторных полей легко и просто возникают полезные обобщения, такие как «сильно-гомотопические алгебры Ли» и алгеброиды Ли. Алгеброиды Ли являются инфинитезимальным объектом для группоидов Ли. Они описывают симметрии более общей, чем групповая, природы. Фундаментальное значение группоидов Ли в дифференциальной геометрии подчеркивалось Эресманном в 1950-е годы, а современное развитие связало алгеброиды Ли с супермногообразиями.
   Более подробно об алгеброидах Ли и родственных им объектах будет рассказано во второй части доклада. Мы расскажем о «неабелевой формуле цепной гомотопии» и «неабелевом» аналоге леммы Пуанкаре, частными случаями которого являются обычная лемма Пуанкаре для замкнутых форм и утверждение, что «связность нулевой кривизны есть чистая калибровка». Из «неабелевой леммы Пуанкаре», в частности, легко получаются классические результаты Маккензи по интегрированию транзитивных алгеброидов Ли. Мы обсудим это, а также любопытные «нелинейные» аналоги алгебр(оидов) Ли, возникающие из градуированной геометрии, т.е. теории супермногообразий, снабженных дополнительной Z-градуировкой («весом»).

Фотогалерея

 8 ноября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Павел Колесников
Конформная алгебра

Аннотация. Конформные алгебры, первоначально возникшие в математике как один из формальных языков конформно-инвариантной квантовой теории поля, стали объектом чисто алгебраического изучения. Они представляют собой линейные пространства, снабженные многозначной операцией «умножения», удовлетворяющей определенным аксиомам.
   Оказывается, многие важные объекты бесконечномерной алгебры тесно связаны с конформными алгебрами. Таковы, в частности, наиболее важные простые бесконечномерные (супер)алгебры Ли, известные на данный момент, и ассоциативные алгебры дифференциальных операторов (алгебры Вейля). С этой точки зрения конформные алгебры представляют собой «метаязык» для работы с бесконечномерными алгебрами. Категорный подход к теории конформных алгебр позволяет единообразно формулировать ряд задач о структуре и представлениях как обычных, так и конформных алгебр.
   В докладе будет рассказано о решении ряда таких задач и приведен список открытых проблем. Никаких специальных знаний у слушателей не предполагается.

Фотогалерея

 1 ноября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

И. А. Панин
Популярное введение в $A^1$-гомотопическую теорию Воеводского и Мореля

Аннотация. Изучать гомотопические свойства алгебраических многообразий (даже и над комплексными числами) хочется методами, похожими на те, что используются в топологии, но оставаясь в рамках алгебро-геометрических конструкций.
   Все пожелания, сформулированные ниже, были реализованы в работах В. Воеводского и Ф. Мореля при участии А. Суслина. В лекции будут даны мотивировки основных конструкций и по возможности популярно объяснены самые базовые из них. Развитый язык сыграл решающую роль в доказательстве Воеводского гипотезы Милнора и в решении целого ряда других задач.
   Хочется строго уметь говорить о таких пространствах, как бесконечномерное проективное пространство $P^\infty$, бесконечный Грассманниан Gr (объединение $Gr(n,2n)$ по всем $n$), хочется иметь отделимые пространства вида $A^1/(A^1-0)$ и более общо $X/(X-Y)$. Другими словами, хочется иметь категорию пространств, похожую по свойствам на клеточные пространства из топологии.
   Затем хочется построить из этой категории ее гомотопическую категорию и сделать это так, чтобы К-функтор был бы представлен в ней Грассманнианом Gr, т.е. для гладкого алгебраического многообразия $X$ имела бы место формула $[X, Gr]=K_0(X)$ и аналогичная формула имела бы место и для старших К-групп.
   Наконец, хочется, чтобы у нас была такая стабильная гомотопическая категория, в которой бы были аналоги спектра комплексных кобордизмов, спектра Эйленберга--Маклейна и спектра К-теории.

Фотогалерея

 25 октября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Заседание посвящено 90-летию со дня рождения выдающегося математика Марка Иосифовича Вишика.

Программа:
1. В. М. Тихомиров. Вступительное слово.
2. М. С. Агранович. Работы Марка Иосифовича по линейным эллиптическим и параболическим уравнениям.
3. Ю. А. Дубинский. О работах М. И. Вишика по нелинейным уравнениям высокого порядка.
4. А. В. Фурсиков. М. И. Вишик и его работы по математическим задачам статистической гидромеханики.
5. В. В.Чепыжов. О работах М. И. Вишика по глобальным аттракторам уравнений математической физики.

Фотогалерея

 18 октября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

В. М. Харламов
Первые шаги вещественной исчислительной геометрии

Аннотация. Следуя классической традиции, к исчислительной геометрии принято относить задачи о числе алгебро-геометрических объектов, подчиненных определенным геометрическим условиям, как, например, подсчет прямых на кубических поверхностях (задача Кэли) или подсчет коник, касательных к данным пяти коникам (задача Штейнера). За последние лет двадцать комплексная исчислительная геометрия превратилась в бурно развивающуюся область и обогатилась мощными новыми методами (инварианты Громова–Виттена, квантовые когомологии, зеркальная симметрия, и т.п.). Вещественная же еще только в самом начале пути.
    Как показали недавние исследования, во многих вещественных исчислительных задачах число вещественных решений оказывается сравнимым (например, в логарифмической шкале) с числом комплексных. В настоящее время это явление наиболее изучено в случае интерполяции точек рациональных поверхностей рациональными кривыми. Решающим инструментом здесь служат инварианты Вельшанже. Эти инварианты можно рассматривать как вещественный аналог инвариантов Громова–Виттена.
    В этом докладе, основанном на серии совместных работ с И. Итенбергом и Е. Шустиным, после краткого напоминания конструкции Вельшанже будет рассказано о рекуррентных формулах, позволяющих вычислять инварианты Вельшанже, и об их применении к доказательству обильности вещественных решений. В этой же связи будут обсуждаться численные свойства инвариантов Вельшанже.

Фотогалерея

 11 октября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А. В. Булинский
О гипотезе Ньюмена

Аннотация. В классической работе Ч. Ньюмена (1980) центральная предельная теорема (ЦПТ) доказана для стационарных случайных полей, заданных на $d$-мерной целочисленной решетке, имеющих суммируемую ковариационную функцию и обладающих свойством ассоциированности (любое семейство независимых случайных величин автоматически является ассоциированным). В этой же статье им была выдвинута гипотеза о справедливости ЦПТ для случайных полей со «слабо расходящимися» частичными суммами ряда, образованного значениями ковариационной функции. В 1984 Н. Херрндорф дал отрицательный ответ на эту гипотезу, построив контрпример стационарного ассоциированного процесса при $d=1$, у которого упомянутые частичные суммы имели логарифмический рост, а ЦПТ не выполнялась. В 2005 А. П. Шашкиным было показано, что никакая сколь угодно медленная расходимость (в смысле Караматы) таких частичных сумм не может обеспечить справедливость гипотезы Ньюмена.
   В 2011 докладчиком установлено, как следует модифицировать гипотезу Ньюмена при любом натуральном $d$, чтобы получить необходимые и достаточные условия ЦПТ для стационарных ассоциированных случайных полей. Оказалось, что ключевую роль играет условие равномерной интегрируемости квадратов нормированных частичных сумм случайного поля. Для доказательства используется анализ асимптотического поведения дисперсий сумм, берущихся по «целочисленным» параллелепипедам, как медленно меняющихся функций многих переменных.
   Все сведения, необходимые для понимания доклада, будут напоминаться слушателям.

Фотогалерея

 27 сентября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А.Гайфуллин
Многочлены Сабитова для объемов четырехмерных многогранников

Аннотация. Классическая формула Герона выражает площадь треугольника через длины его сторон. Очевидно, что для многоугольников с большим количеством сторон не существует формулы такого типа, так как площадь многоугольника может меняться непрерывно при его изгибании с сохранением длин сторон. Оказывается, что ситуация кардинальным образом изменяется при переходе к размерности 3. В 1996 году И. Х. Сабитов доказал, что объем любого симплициального многогранника в трехмерном евклидовом пространстве является корнем некоторого отмеченного многочлена, зависящего от комбинаторного типа многогранника, с коэффициентами, полиномиально зависящими от длин ребер многогранника. Подчеркнем, что многогранник не предполагается ни выпуклым, ни даже гомеоморфным шару. Одним из основных приложений этого результата является доказательство так называемой ⟨гипотезы о кузнечных мехах⟩, утверждающей, что объем любого изгибаемого многогранника в трехмерном евклидовом пространстве постоянен. С тех пор как были получены эти результаты, оставался открытым вопрос о возможности их обобщения на многогранники старших размерностей. В докладе будет рассказано о недавно полученных докладчиком аналогах теорем Сабитова для многогранников в четырехмерном евклидовом пространстве. Будет доказано, что для любого четырехмерного симплициального многогранника существует многочлен Сабитова и что объем любого изгибаемого четырехмерного многогранника постоянен.

Фотогалерея

 13 сентября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Отчетно-распорядительное заседание Московского математического общества

ПОВЕСТКА ДНЯ
1. Отчет Правления
2. В. А. Васильев
Топологическое доказательство теоремы Арнольда о четырех вершинах семейства геодезических на сфере

Аннотация. $k$-й каустикой некоторой точки риманова многообразия называется объединение $k$-х сопряженных точек на всех геодезических, выходящих из этой точки. Теорема Арнольда (обобщающая наблюдение Якоби и использующая аналитический результат С. Л. Табачникова) утверждает, что для любого $k$ такая каустика на типичной поверхности, достаточно близкой к стандартной сфере, имеет не менее 4 полукубических точек возврата. Я расскажу о топологическом доказательстве этого факта, основанном на теории Морса и, по-видимому, значительно ослабляющем условия "близости к сфере".

Фотогалерея

2013/2012   |||   2012/2011   |||   2011/2010   |||   2010/2009   |||   2009/2008   |||   2008/2007   |||   2007/2006   |||   2006/2005   |||   2005/2004