Заседания ММО

2013/2012   |||   2012/2011   |||   2011/2010   |||  2010/2009   |||   2009/2008   |||   2008/2007   |||   2007/2006   |||   2006/2005   |||   2005/2004

 26 мая 2009 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-24 ГЗ МГУ)

А. Браверман
Что такое аффинный Грассманиан и зачем он нужен?

Аннотация. В докладе будет рассказано, что такое аффинный Грассманиан – некоторое бесконечномерное многообразие, ассоциированное с полупростой группой $G$, и как он применяется в таких областях математики, как геометрическая теория представлений и калибровочная теория. Если позволит время, то будут также упомянуты некоторые недавние обобщения этого понятия на случай, когда группа $G$ становится бесконечномерной.

 19 мая 2009 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-24 ГЗ МГУ)

Д. С. Челкак
Конформная инвариантность критической двумерной модели Изинга и дискретный комплексный анализ

Аннотация. Критическая модель Изинга является классическим примером конформно инвариантной модели в двумерной статистической физике. Это означает, что естественные объекты (например, корреляции спинов) ведут себя конформно инвариантным образом (по отношению к макроскопической форме области, в которой рассматривается модель), если шаг решетки стремится к нулю. В 2000 г. O. Schramm разработал новый подход к конформной инвариантности, предложив описание предельного поведения случайных кривых (интерфейсов), разделяющих различные спины, при помощи уравнения Левнера, хорошо известного в классическом комплексном анализе. В дальнейших работах сходимость к этим, «каноническим», случайным кривым была установлена для ряда моделей, а сами кривые получили название SLE (Schramm–Loewner Evolution).
   В первой части доклада будет рассказано о механизме доказательства сходимости интерфейсов к SLE. Не касаясь возникающих технических сложностей, мы сфокусируем внимание лишь на основной идее – существовании дискретно аналитической функции со специальными свойствами (дискретного голоморфного мартингала). Также будет рассказано о построении такой функции для модели Изинга, предложенном С. Смирновым (2006 г.). Во второй части будет обсуждаться универсальность модели Изинга (т.е. независимость предела от структуры решетки, на которой рассматривается модель). Это приводит к вопросу о построении разумной дискретизации комплексного анализа на широком классе планарных графов. Будет рассказано о результатах в этой области, которые, в частности, позволяют установить конформную инвариантность и универсальность модели Изинга на изорадиальных графах (или ромбических решетках, результаты С. Смирнова (Женева) и докладчика).
   Доклад будет иметь популярный характер, для понимания не требуется знаний, выходящих за рамки базовых курсов по комплексному анализу и теории вероятностей.

 21 апреля 2009 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-24 ГЗ МГУ)

А. Д. Медных
Объемы многогранников, узлов и зацеплений в пространствах постоянной кривизны

Аннотация. Вычисление объема многогранника – это классическая задача, известная со времен Евклида и не потерявшая актуальность в наши дни. Вероятно, первый результат в данном направлении принадлежит Тартальи (Tartaglia, 1499–1557), который нашел объем евклидова тетраэдра. В настоящее время этот результат известен как формула Кэли–Менгера. И. Х. Сабитов (1996) доказал, что объем любого евклидова многогранника – это корень алгебраического уравнения, коэффициенты которого являются целочисленными многочленами, зависящими от длин р\"ебер многогранника и его комбинаторного типа.
   В гиперболическом и сферическом случаях ситуация более сложная. Формула объема для бипрямоугольного тетраэдра (ортосхемы) известна еще со времен Н. И. Лобачевского и Л. Шлефли. Объем куба Ламберта и некоторых других многогранников получены Р. Келлерхальц (1989), Д. А. Деревниным и докладчиком (2002), А. Ю. Весниным и Дж. Паркером (2004) и другими. Объемы гиперболических многогранников, имеющих хотя бы одну вершину на бесконечности, найдены Э. Б. Винбергом (1988).
   Общая формула для объема тетраэдра в гиперболическом пространстве долгое время оставалась неизвестной. Недавно Ю. Чо, Х. Ким (1999), Дж. Мураками, У. Яно (2005) и А. Ушиджима (2003) получили такую формулу в виде линейной комбинации 16 дилогарифмических функций. В 2005 году Д. А. Деревнин и докладчик предложили элементарную интегральную формулу объема гиперболического тетраэдра. Отметим, что если многогранник обладает какой-либо нетривиальной симметрией, то формула для его объема существенно упрощается. Впервые этот замечательный факт был установлен самим Лобачевским (1904) для идеального гиперболического тетраэдра. Дж. Милнор (1982) представил соответствующий результат в весьма элегантной форме. В общем случае объем неевклидова тетраэдра с симметриями был найден Д. А. Деревниным, докладчиком и М. Г. Пашкевич (2004).
   Удивительно, что более ста лет назад, в 1906 г., итальянский герцог Гаетано Сфорца нашел формулу для вычисления объема неевклидова тетраэдра. Этот факт приобрел известность после дискуссии докладчика с Хосе Монтезиносом на конференции в Эль Бурго д'Осма (Испания) в августе 2006 г. К сожалению, выдающаяся работа Сфорца до этого времени была полностью забыта.
   В настоящем докладе излагается общий подход к вычислению объемов многогранников, обладающих нетривиальной симметрией, и даются его приложения к теории узлов и зацеплений.

 14 апреля 2009 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-24 ГЗ МГУ)

О положении с преподаванием математики в школе
Планируются выступления А. М. Абрамова, В. А. Васильева, А. Л. Семенова, И. В. Ященко.

Члены Общества приглашаются к обсуждению новой концепции и демонстрационных вариантов ЕГЭ по математике, разработанных МИОО (zip-файл), а также перспектив их дальнейшей эволюции.

 7 апреля 2009 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-24 ГЗ МГУ)

И. А. Тайманов
Преобразования Дарбу–Мутара и их применения к спектральной теории и нелинейным уравнениям

Аннотация. Доклад посвящен открытым в конце XIX века методам решения дифференциальных уравнений, называемым преобразованиями Мутара и Дарбу. Впоследствии они успешно применялись к задачам спектральной теории и к солитонным уравнениям и находят новые приложения по сей день.
   Преобразование Мутара позволяет строить по уравнению от двух переменных вида $\Delta u + Qu = 0$, все решения $u$ которого известны и даются явными формулами, новое уравнение того же вида, все решения которого явно строятся по решением начального уравнения. Уже применение этой процедуры к уравнению с нулевым потенциалом $Q = 0$ приводит к интересным уравнениям, что в ряде конкретных случаев было замечено еще Эйлером (уравнение Эйлера–Пуассона).
   Преобразование Дарбу является одномерной редукцией преобразования Мутара и переоткрывалось много раз по мере нахождения его применений к задачам спектральной теории (точно решаемые одномерные операторы Шредингера и обратная задача рассеяния), математической физики, солитонным уравнениям.
   В докладе будет рассказано о некоторых применениях преобразования Мутара к спектральной теории – построении двумерных операторов Шредингера с быстро убывающим потенциалом и нетривиальным ядром – а также солитонным уравнениям – построении примеров решений уравнения Веселова–Новикова, двумеризации уравнения Кортевега–де Фриза, разрушающихся за конечное время.

 17 марта 2009 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-24 ГЗ МГУ)

С. М. Натанзон
Топологическая теория струн

Аннотация. Топологическая теория струн является топологическим приближением теории струн. Теория струн – современный вариант единой теории поля. Он предполагает, что частица является не точкой, а некоторым одномерным объектом. В этом случае траектория частицы описывается поверхностью. В топологическом приближении вероятность траектории зависит лишь от топологического типа поверхности и от характеристик рождения и гибели частицы. Это предположение приводит к простой системе аксиом, которой, удивительным образом, удовлетворяют объекты и из самых разных областей математики: от абстрактной алгебры до интегрируемых систем. Доклад доступен студентам первого курса.

 3 марта 2009 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-24 ГЗ МГУ)

В. С. Рябенький
Разностный потенциал типа интеграла Коши

Аннотация. Классический интеграл типа Коши можно интерпретировать как некоторый потенциал для системы Коши–Римана. Мы рассматриваем вместо системы Коши–Римана произвольную систему линейных разностных уравнений на произвольной многомерной сетке и оснащаем эту систему конструкцией, которая объединяет некоторые возможности классического интеграла типа Коши с универсальностью и алгоритмичностью разностных схем. Мы называем эту конструкцию разностным потенциалом типа интеграла Коши.
Доклад дает представление о конструкции разностного потенциала и идеях его использования, а также краткий обзор уже реализованных приложений к численному решению краевых задач, к построению условий на границе расчетной подобласти в задачах обтекания тел газом, к активной защите заданной области от шума внешних по отношению к этой области источников звука.
Метод разностных потенциалов предложен в 1969 г. в докторской диссертации докладчика и продолжает активно развиваться.

 16 декабря 2008 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-24 ГЗ МГУ)

А. Г. Хованский
Выпуклая геометрия и алгебраические уравнения на многообразиях
(Convex Geometry and Algebraic Equations on Varieties)

Аннотация. Теорема Кушниренко–Бернштейна вычисляет в терминах смешанных объемов многогранников Ньютона число решений в $C^n$ системы уравнений $P_1 = ... = P_n = 0$, где $P_i$ – достаточно общие функции из фиксированных пространств $L_i$, порожденных конечным числом мономов. В докладе будет рассказано об обобщении этой теоремы. В нем вместо $C^n$ берется любое алгебраическое многообразие $X$, вместо $L_i$ – любые конечномерные пространства рациональных функций на $X$. Мы показываем, что (правильным образом посчитанное) число решений системы $f_1 = ... = f_n = 0$, где $f_i$ – достаточно общие функции из $L_i$, обладает всеми свойствами смешанных объемов. При этом мы одновременно получаем простые доказательства как геометрического неравенства Александрова–Фенхеля, так и алгебраической теоремы Ходжа об индексе.

 9 декабря 2008 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-24 ГЗ МГУ)

В.В.Жиков (г. Владимир)
Об одном подходе к разрешимости обобщенных уравнений Навье–Стокса
(On an approach to solvability of generalized Navier–Stokes equations)

Аннотация. Обсуждается уравнение Навье–Стокса с нелинейным вязким членом, $p > 1$ – показатель нелинейности. Теорема существования слабых решений доказана в ситуации, когда конвективное слагаемое не подчинено вязкому, в частности, для псевдо-пластических течений ($p < 2$). Метод доказательства основан на идеях геометрической теории меры и компенсированной компактности. С построенным решением связана некоторая пространственно-временная мера, которая может содержать сингулярную компоненту. Обсуждается связь сингулярной компоненты с известными результатами из Partial Regularity Theory.

 2 декабря 2008 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-24 ГЗ МГУ)

Н. С. Надирашвили (Марсель, Москва)
Сингулярные решения сильно нелинейных эллиптических уравнений
(Singular solutions of fully non-linear elliptic equations)

Аннотация. Уранения второго порядка, нелинейно зависящие от гессиана решения, называются сильно нелинейными уравнениями. Эллиптические сильно нелинейные уравнения включают в себя ряд классических уравнений, возникающих в разных областях математики и в приложениях. За исключением размерности 2, классическая разрешимость задачи Дирихле для сильно нелинейными эллиптическими уравнениями являлась открытой проблемой на протяжении десятилетий. Недавно эта проблема была отрицательно решена в работе автора и С. Влэдуца.

 18 ноября 2008 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-24 ГЗ МГУ)

Заседание посвящено памяти В. Б. Лидского.
Планируются выступления В. И. Арнольда, М. И. Вишика, А. Г. Костюченко, В. А. Садовничего, Б. В. Федосова, А. А. Шкаликова.

 11 ноября 2008 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-24 ГЗ МГУ)

Т. М. Садыков (Сибирский федеральный университет, Красноярск)
Монодромия гипергеометрических систем дифференциальных уравнений и теорема об умножении особенностей
(Monodromy of hypergeometric systems of differential equations and a theorem on multiplication of singularities)

Аннотация. Система дифференциальных уравнений гипергеометрического типа определяется целочисленной матрицей максимального ранга в совокупности с комплексным вектором параметров. Голоморфные решения таких систем образуют важный класс специальных функций математической физики, замкнутый относительно операций дифференцирования, интегрирования и композиции Адамара. Мы будем называть монодромию такой системы максимально приводимой, если пространство ее голоморфных решений есть прямая сумма одномерных инвариантных подпространств. В докладе будет представлена «гипергеометрическая версия» теоремы об умножении особенностей и даны необходимые и достаточные условия максимальной приводимости монодромии двумерной неконфлюэнтной гипергеометрической системы уравнений. В частности, будет показано, что любая гипергеометрическая система, ассоциированная с произвольным плоским зонотопом, обладает этим свойством.

 28 октября 2008 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-24 ГЗ МГУ)

Ю. Л. Сачков
Задача Эйлера об эластиках и субриманова задача на группе движений плоскости
(Euler's elastic problem and sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane)

Аннотация. Доклад будет посвящен двум связанным между собой инвариантным задачам оптимального управления на группе движений плоскости.

Первая задача заключается в минимизации функционала упругой энергии (интеграл от квадрата кривизны) на пространстве плоских кривых с фиксированными концами и касательными на концах. Критические точки этого функционала – эластики – были описаны Л. Эйлером в 1744 году. Будет рассказано о том, как определить, какие из этих критических точек являются точками минимума, локального или глобального. В частности, будет описано решение задачи об устойчивости эйлеровых эластик при фиксированных концах и направлениях на концах.

Вторая задача состоит в том, чтобы по заданным двум точкам на плоскости и двум векторам в этих точках найти кривую, выходящую из первой точки с первым касательным вектором и приходящую во вторую точку со вторым касательным вектором. При этом кривая должна иметь минимальную длину в пространстве (x, y, \theta), где x, y – координаты на плоскости, а \theta – угол наклона касательного вектора кривой. Будет описано решение задачи: экстремальные кривые, их локальная и глобальная оптимальность, множество разреза, субримановы сферы и каустики.

 14 октября 2008 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-24 ГЗ МГУ)

А. Г. Кузнецов (лауреат премии Европейского математического общества для молодых математиков 2008 г.)
Некоммутативные разрешения особенностей
(Noncommutative resolutions of singularities)

Аннотация. Всякое некоммутативное расширение категории алгебраических многообразий дает понятие некоммутативного разрешения особенностей. Класс некоммутативных разрешений априори шире класса обычных разрешений, поэтому в некоторых случаях удается найти некоммутативные разрешения, обладающие более хорошими свойствами, чем коммутативные. Будет рассказано про два варианта таких расширений. В первом некоммутативными многообразиями считаются алгебраические многообразия снабженные пучком некоммутативных алгебр, во втором - триангулированные категории специального вида. Будут приведены примеры возникающих новых расширений.

 23 сентября 2008 г. состоится отчетно-распорядительное заседание Московского математического общества.
(18:30, ауд. 16-24 ГЗ МГУ)
Необходим кворум, просим всех присутствовать.

 ПОВЕСТКА ДНЯ
1. Отчет Правления
2. Отчет Ревизионной комиссии
3. Обсуждение
4. Выборы Правления и Ревизионной комиссии

 В перерыве в собрании, необходимом для подготовки выборов правления и Ревизионной комиссии, состоится доклад:

В. И. Арнольд
Как узнать, случайна ли конечная последовательность чисел?

Аннотация. Обе последовательности (из 15 двузначных чисел):
(1) 03, 09, 27, 91, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 07
(2) 37, 74, 11, 48, 85, 22, 59, 96, 33, 70, 07, 44, 81, 18, 55
кажутся на вид одинаково случайными. Но объективный критерий случайности (предложенный Колмогоровым в статье 1933 года в журнале страховщиков-статистиков на итальянском языке) показывает, что вероятность случайности первой последовательности примерно в 300 раз больше, чем вероятность случайности второй.

Этот критерий "объективной случайности" конечной последовательности вещественных чисел никак не связан с происхождением изучаемой последовательности: (1) - геометрическая, а (2) - арифметическая прогрессия остатков от деления на 100.

Критерий Колмогорова основан на вычислении по заданной последовательности значения некоторого параметра стохастичности $\lambda$; вероятность случайности зависит от его величины. Среднее значение $\overline{\lambda}$ параметра Колмогорова $\lambda$ есть $\overline{\lambda}=\sqrt{\pi/2} ln 2 \approx 0,87$. Если наблюденное значение $\lambda$ сильно меньше или сильно больше, чем $\overline{\lambda}$, то случайность изучаемой последовательности маловероятна.

Теорема 1. Для прогрессий дробных долей $\{a^t\}$ и $\{at\}$ ($t=1, 2, 3, \ldots, n$) значения параметра Колмогорова $\lambda$ стремятся к 0 при $n\to\infty$, если число $a$ рационально.

Теорема 2. Существуют такие иррациональные числа $a$, для которых показатель Колмогорова прогрессии $\{at\}$ ($t=1, 2, 3, \ldots, n$) принимает сколь угодно много раз сколь угодно большие значения.

В докладе будет также рассказано о применении Колмогоровым своего критерия случайности к работам учеников Лысенко, опровергавшим законы генетики Менделя.

2013/2012   |||   2012/2011   |||   2011/2010   |||  2010/2009   |||   2009/2008   |||   2008/2007   |||   2007/2006   |||   2006/2005   |||   2005/2004