|
Заседания ММО
2012/2011
||| 2011/2010
||| 2010/2009
||| 2009/2008
||| 2008/2007
||| 2007/2006
||| 2006/2005
||| 2005/2004
 13 декабря 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)
И. В. Аржанцев
Локальные алгебры и аддитивные структуры на проективных многообразиях
Аннотация.
Пусть $C$ – аддитивная группа поля комплексных чисел. Будем называть
аддитивной структурой на $n$-мерном комплексном проективном многообразии $X$
регулярное действие группы $C^n$ на $X$ с открытой
орбитой. Аддитивная
структура позволяет рассматривать $X$ как эквивариантную компактификацию
группы $C^n$. Тем самым мы получаем аддитивный аналог теории торических
многообразий.
В 1999 году Брендан Хассетт и Юрий Чинкель
установили замечательное
соответствие между аддитивными структурами на проективных пространствах и
локальными конечномерными алгебрами. Из этого соответствия следует, что
при $n > 5$ число классов эквивалентности аддитивных
структур на $n$-мерном
проективном пространстве бесконечно. Также соответствие Хассетта–Чинкеля
позволяет определять полезные числовые инварианты локальных алгебр. В этих
терминах удается решить некоторых задачи линейной алгебры, связанные
с классификацией наборов коммутирующих нильпотентных операторов.
В докладе мы подробно обсудим элементарную
версию соответствия
Хассетта–Чинкеля и ее обобщение, которое приводит к классификации
аддитивных структур на проективных гиперповерхностях. Будут рассмотрены
аддитивные структуры на многообразиях флагов полупростых алгебраических
групп и на торических многообразиях. Также мы опишем возможные применения
этого метода для изучения компактификаций произвольных коммутативных
линейных алгебраических групп.
Никаких специальных знаний у
слушателей не предполагается.
Фотогалерея
29 ноября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)
Жан-Франсуа КЭН (Jean-Francois Quint)
Случайные блуждания на однородных пространствах
Аннотация.
Замыкание всякой однопараметрической подгруппы тора есть тор. В 1990-х
годах М. Ратнер доказала следующий некоммутативный аналог этого наблюдения.
Для заданной группы Ли $G$ (например, $G = SL(d,R))$ и
решетки $\Lambda$ в ней
(например, $\Lambda = SL(d,Z)$) рассмотрим действие подгруппы $\Gamma$ на
фактор-пространстве $G/\Lambda$. Теорема Ратнер утверждает, что если
подгруппа $\Gamma$ порождена унипотентными элементами, то замыкание всякой
ее орбиты однородно, т.е. является орбитой замкнутой подгруппы. Теорема
Ратнер имеет много приложений в разных областях математики, например,
в теории чисел.
В докладе будет представлен совместный
результат Ива Бенуа и докладчика,
обобщающий теорему Ратнер на довольно широкий класс подгрупп $\Gamma$:
требуется только, чтобы образ подгруппы $\Gamma$ под действием
присоединенного представления группы $G$ имел полупростое замыкание по
Зарискому без компактных факторов. Доказательство опирается на
исследование случайного блуждания на $G$. Этот результат был недавно
применен в совместной работе
А. Эскина и М. Мирзахани о замыканиях
$SL(2,R)$-орбит в пространствах модулей.
Предварительных знаний у слушателей
не требуется. Доклад будет проходить на английском языке.
Фотогалерея
15 ноября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)
Ф. Ф. Воронов
Супергеометрия и скобки
Аннотация.
В докладе рассматривается связь геометрических структур на
супермногообразиях таких, как гомологические векторные поля, со скобками
Пуассона, алгебрами Ли и их обобщениями (гомотопические алгебры Ли и
алгеброиды Ли). Все необходимые понятия будут введены по ходу изложения и
предварительное знакомство с ними не предполагается.
В первой части доклада мы покажем, как при описании
дифференциально-геометрических объектов на обычном многообразии
естественно возникают супермногообразия. Введение супермногообразий имеет
здесь такое же преимущество, как переход от компонентной записи уравнений
Максвелла к инвариантному языку векторного и тензорного анализа. Эта
аналогия не случайна: в современной математической физике супергеометрия
является стандартным языком, удачно дополнившим классические тензорные
обозначения. Потом мы определим «гомологические векторные поля» на
супермногообразии. Это понятие обладает большой унифицирующей силой:
гомологические векторные поля играют роль производящих функций
разнообразных алгебраических и дифференциально-геометрических объектов.
Примером служат обычные алгебры Ли, для которых на языке гомологических
векторных полей легко и просто возникают полезные обобщения, такие как
«сильно-гомотопические алгебры Ли» и алгеброиды Ли. Алгеброиды Ли являются
инфинитезимальным объектом для группоидов Ли. Они описывают симметрии
более общей, чем групповая, природы. Фундаментальное значение группоидов
Ли в дифференциальной геометрии подчеркивалось Эресманном в 1950-е годы, а
современное развитие связало алгеброиды Ли с супермногообразиями.
Более подробно об алгеброидах Ли и
родственных им объектах будет
рассказано во второй части доклада. Мы расскажем о «неабелевой формуле
цепной гомотопии» и «неабелевом» аналоге леммы Пуанкаре, частными случаями
которого являются обычная лемма Пуанкаре для замкнутых форм и утверждение,
что «связность нулевой кривизны есть чистая калибровка». Из «неабелевой
леммы Пуанкаре», в частности, легко получаются классические результаты
Маккензи по интегрированию транзитивных алгеброидов Ли. Мы обсудим это, а
также любопытные «нелинейные» аналоги алгебр(оидов) Ли, возникающие из
градуированной геометрии, т.е. теории супермногообразий, снабженных
дополнительной Z-градуировкой («весом»).
Фотогалерея
8 ноября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)
Павел Колесников
Конформная алгебра
Аннотация.
Конформные алгебры, первоначально возникшие в математике как один из
формальных языков конформно-инвариантной квантовой теории поля, стали
объектом чисто алгебраического изучения. Они представляют собой линейные
пространства, снабженные многозначной операцией «умножения»,
удовлетворяющей определенным аксиомам.
Оказывается, многие важные объекты
бесконечномерной алгебры тесно связаны
с конформными алгебрами. Таковы, в частности,
наиболее важные простые
бесконечномерные (супер)алгебры Ли, известные на данный момент, и
ассоциативные алгебры дифференциальных операторов (алгебры Вейля). С этой
точки зрения конформные алгебры представляют собой
«метаязык» для работы с бесконечномерными
алгебрами. Категорный подход к теории конформных алгебр
позволяет единообразно формулировать ряд задач о структуре и
представлениях как обычных, так и конформных алгебр.
В докладе будет рассказано о решении
ряда таких задач и приведен список
открытых проблем. Никаких специальных знаний у слушателей не
предполагается.
Фотогалерея
1 ноября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)
И. А. Панин
Популярное введение в $A^1$-гомотопическую
теорию Воеводского и Мореля
Аннотация.
Изучать гомотопические свойства алгебраических многообразий (даже и над
комплексными числами) хочется методами, похожими на те, что используются
в топологии, но оставаясь в рамках
алгебро-геометрических конструкций.
Все пожелания, сформулированные ниже,
были реализованы в работах
В. Воеводского и Ф. Мореля при участии А. Суслина.
В лекции будут даны мотивировки основных
конструкций и по возможности популярно объяснены
самые базовые из них. Развитый язык сыграл решающую роль
в доказательстве Воеводского гипотезы Милнора и в решении целого ряда
других задач.
Хочется строго уметь говорить о таких пространствах, как
бесконечномерное проективное пространство $P^\infty$, бесконечный
Грассманниан Gr (объединение $Gr(n,2n)$ по всем $n$), хочется иметь
отделимые пространства вида $A^1/(A^1-0)$ и более общо $X/(X-Y)$. Другими
словами, хочется иметь категорию пространств, похожую по свойствам на
клеточные пространства из топологии.
Затем хочется построить из этой категории
ее гомотопическую категорию и
сделать это так, чтобы К-функтор был бы представлен в ней Грассманнианом
Gr, т.е. для гладкого алгебраического многообразия $X$ имела бы место
формула $[X, Gr]=K_0(X)$ и аналогичная формула имела бы место и для
старших К-групп.
Наконец, хочется, чтобы у нас была такая стабильная гомотопическая
категория, в которой бы были аналоги спектра комплексных кобордизмов,
спектра Эйленберга--Маклейна и спектра К-теории.
Фотогалерея
25 октября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)
Заседание посвящено 90-летию со дня рождения выдающегося математика
Марка Иосифовича Вишика.
Программа:
1. В. М. Тихомиров. Вступительное слово.
2. М. С. Агранович. Работы Марка Иосифовича по линейным эллиптическим
и параболическим уравнениям.
3. Ю. А. Дубинский. О работах М. И. Вишика по нелинейным уравнениям
высокого порядка.
4. А. В. Фурсиков. М. И. Вишик и его работы по математическим задачам
статистической гидромеханики.
5. В. В.Чепыжов. О работах М. И. Вишика по глобальным аттракторам
уравнений математической физики.
Фотогалерея
18 октября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)
В. М. Харламов
Первые шаги вещественной исчислительной геометрии
Аннотация.
Следуя классической традиции, к исчислительной геометрии принято относить
задачи о числе алгебро-геометрических объектов, подчиненных определенным
геометрическим условиям, как, например, подсчет прямых на кубических
поверхностях (задача Кэли) или подсчет коник, касательных к данным пяти
коникам (задача Штейнера). За последние лет двадцать комплексная
исчислительная геометрия превратилась в бурно развивающуюся область и
обогатилась мощными новыми методами (инварианты Громова–Виттена,
квантовые
когомологии, зеркальная симметрия, и т.п.). Вещественная же еще только
в самом начале пути.
Как показали недавние исследования, во многих вещественных исчислительных
задачах число вещественных решений оказывается сравнимым (например,
в логарифмической шкале) с числом комплексных.
В настоящее время это явление
наиболее изучено в случае интерполяции точек рациональных поверхностей
рациональными кривыми. Решающим инструментом здесь служат инварианты
Вельшанже. Эти инварианты можно рассматривать как вещественный аналог
инвариантов Громова–Виттена.
В этом докладе, основанном на серии совместных работ с И. Итенбергом и
Е. Шустиным, после краткого напоминания конструкции Вельшанже будет
рассказано о рекуррентных формулах, позволяющих вычислять инварианты
Вельшанже, и об их применении к доказательству обильности вещественных
решений. В этой же связи будут обсуждаться численные свойства инвариантов
Вельшанже.
Фотогалерея
11 октября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)
А. В. Булинский
О гипотезе Ньюмена
Аннотация.
В классической работе Ч. Ньюмена (1980) центральная предельная теорема
(ЦПТ) доказана для стационарных случайных полей, заданных на $d$-мерной
целочисленной решетке, имеющих суммируемую ковариационную функцию и
обладающих свойством ассоциированности (любое семейство независимых
случайных величин автоматически является ассоциированным). В этой же
статье им была выдвинута гипотеза о справедливости ЦПТ для случайных полей
со «слабо расходящимися»
частичными суммами ряда, образованного значениями
ковариационной функции. В 1984 Н. Херрндорф дал
отрицательный ответ на эту
гипотезу, построив контрпример стационарного ассоциированного процесса при
$d=1$, у которого упомянутые частичные суммы имели логарифмический рост, а
ЦПТ не выполнялась. В 2005 А. П. Шашкиным
было показано, что никакая сколь
угодно медленная расходимость (в смысле Караматы) таких частичных сумм не
может обеспечить справедливость гипотезы Ньюмена.
В 2011 докладчиком установлено, как следует модифицировать гипотезу
Ньюмена при любом натуральном $d$, чтобы получить необходимые и
достаточные условия ЦПТ для стационарных ассоциированных случайных полей.
Оказалось, что ключевую роль играет условие равномерной интегрируемости
квадратов нормированных частичных сумм случайного поля. Для доказательства
используется анализ асимптотического поведения дисперсий сумм, берущихся
по «целочисленным» параллелепипедам,
как медленно меняющихся функций
многих переменных.
Все сведения, необходимые для понимания доклада, будут напоминаться
слушателям.
Фотогалерея
27 сентября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)
А.Гайфуллин
Многочлены Сабитова для объемов четырехмерных многогранников
Аннотация.
Классическая формула Герона выражает площадь треугольника через длины его
сторон. Очевидно, что для многоугольников с большим количеством сторон не
существует формулы такого типа, так как площадь многоугольника может
меняться непрерывно при его изгибании с сохранением длин сторон.
Оказывается, что ситуация кардинальным образом изменяется при переходе
к размерности 3. В 1996 году
И. Х. Сабитов доказал, что объем любого
симплициального многогранника в трехмерном евклидовом пространстве
является корнем некоторого отмеченного многочлена, зависящего от
комбинаторного типа многогранника, с коэффициентами, полиномиально
зависящими от длин ребер многогранника. Подчеркнем, что многогранник не
предполагается ни выпуклым, ни даже гомеоморфным шару. Одним из основных
приложений этого результата является доказательство так называемой
⟨гипотезы о кузнечных мехах⟩, утверждающей,
что объем любого изгибаемого
многогранника в трехмерном евклидовом пространстве постоянен. С тех пор
как были получены эти результаты, оставался открытым вопрос о возможности
их обобщения на многогранники старших размерностей. В докладе будет
рассказано о недавно полученных докладчиком аналогах теорем Сабитова для
многогранников в четырехмерном евклидовом пространстве. Будет доказано,
что для любого четырехмерного симплициального многогранника существует
многочлен Сабитова и что объем любого изгибаемого четырехмерного
многогранника постоянен.
Фотогалерея
13 сентября 2011 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)
Отчетно-распорядительное заседание Московского
математического общества
ПОВЕСТКА ДНЯ
1. Отчет Правления
2. В. А. Васильев
Топологическое доказательство теоремы Арнольда о четырех
вершинах семейства геодезических на сфере
Аннотация.
$k$-й каустикой некоторой точки риманова многообразия называется объединение
$k$-х сопряженных точек на всех геодезических, выходящих из этой точки.
Теорема Арнольда (обобщающая наблюдение Якоби и использующая аналитический
результат С. Л. Табачникова) утверждает,
что для любого $k$ такая каустика на
типичной поверхности, достаточно близкой к стандартной сфере, имеет не
менее 4 полукубических
точек возврата. Я расскажу о топологическом
доказательстве этого факта, основанном на теории Морса и, по-видимому,
значительно ослабляющем условия "близости к сфере".
Фотогалерея
2012/2011
||| 2011/2010
||| 2010/2009
||| 2009/2008
||| 2008/2007
||| 2007/2006
||| 2006/2005
||| 2005/2004
|
