Заседания ММО

2014/2013   |||   2013/2012   |||   2012/2011   |||   2011/2010   |||   2010/2009   |||   2009/2008   |||   2008/2007   |||   2007/2006   |||   2006/2005   |||   2005/2004

 29 апреля 2014 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

В. Г. Тураев
Топологические теории поля в размерности три

Аннотация. В докладе будет рассказано об открытой примерно 20 лет тому назад связи между теорией моноидальных категорий и топологией трехмерных многообразий.
   Моноидальные категории естественно возникают при изучении представлений групп. Топология трехмерных многообразий – это один из наиболее активных и интересных разделов топологии. Связь между ними проявляется в том, что некоторые моноидальные категории являются источниками топологических инвариантов трехмерных многообразий и, более того, позволяют определить топологические теории поля в размерности 3.
   Все необходимые понятия будут определены, и специальных знаний для понимания доклада не требуется.

 15 апреля 2014 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Студенческие чтения
И. Х. Сабитов
Интегральные формулы для объемов в пространствах постоянной кривизны

Аннотация. Известная в евклидовом пространстве формула для вычисления объема тела через некоторый интеграл по его граничной поверхности обобщается на случай сферических и гиперболических пространств произвольной размерности. Для случая многогранников эта формула позволяет вывести формулу объема симплекса через координаты его вершин, и, как следствие, получить новое простое аналитическое доказательство знаменитой формулы Шлефли для дифференциала объема многогранника.
   Доклад будет доступен студентам-младшекурсникам, так как никаких специальных предварительных знаний для его понимания не требуется. Все необходимые формулы будут изложены по ходу доклада.

 1 апреля 2014 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Л. А. Тахтаджян
Этюды о резольвенте

Аннотация. В докладе будет рассказано о приложениях резольвент самосопряженных операторов к различным разделам математики. Я начну с обзора общих результатов, которые будут проиллюстрированы на примерах оператора Шредингера и оператора Лапласа на фундаментальной области фуксовой группы на плоскости Лобачевского. Последний пример имеет приложения к теории чисел. В заключение я расскажу о новых результатах спектральной теории одного функционально-разностного оператора из конформной теории поля.
   Все необходимые понятия будут определены, и специальных знаний для понимания доклада не требуется.

Фотогалерея

 25 марта 2014 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А. М. Вершик
Границы, инвариантные меры, характеры и внутренние метрики

Аннотация. Широкий класс задач анализа, теории случайных процессов, теории представлений и асимптотической комбинаторики сводится к отысканию множества инвариантных мер относительно действия той или иной группы, или того или иного отношения эквивалентности. Таковы задачи о границе-выход (вход) случайного процесса, о границе Пуассона–Фюрстенберга случайного блуждания, о списке гармонических функций, о фазовых переходах, о характерах групп и следах алгебр, и, собственно, об инвариантных мерах динамической системы. В последнем случае хорошо известно, что задача описания инвариантных мер может быть «гладкой», — множество неразложимых инвариантных мер компактно в некоторой топологии, и «негладкой», когда компактной параметризации ответа не существует. Обе возможности реализуются и в других упомянытых задачах (например в задаче о следах), что менее известно. Как различить эти два случая? Как найти эту «некоторую» топологию?
   Наиболее интересный случай: меры, инваринатные относительно хвостового отношения эквивалентности в пространстве путей градуированного графа (диаграммы Браттели) или границы-выход марковской нестационарнои цепи. К нему сводятся все гиперконечные (аменабельные) примеры. Используя общее понятие стандарнтости из теории фильтраций (теории убывающих последовательностей сигма-алгебр) можно определить так называемую внутреннюю топологию на пространстве путей графа, которая дает метод описания инвариантных мер в гладком (компактном) случае.
   В докладе будут определены все необходимые понятия и рассмотрены примеры.

Фотогалерея

 24 марта 2014 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

С. К. Годунов
Корректность дифференциальных уравнений, пластические деформации и волнообразование при сварке взрывом

Аннотация. Доклад начнется с краткого изложения основных принципов, которые, как впоследствии оказалось, были заложены в 1953–54 годах при проектировании расчетной схемы для разрывных решений уравнений газовой динамики. Современное развитие таких схем успешно используется вплоть до настоящего времени. Их изобретение проводилось под руководством М. В. Келдыша и И. М. Гельфанда.
   В течение следующего десятилетия во время оживленных дискуссий, в которых активное участие принимали также физики Я. Б. Зельдович, Д. А. Франк-Каменецкий и группа экспериментаторов, руководимая Л. В. Альтшулером, возникла формулировка класса уравнений, для которых применима предложенная методика. Оказалось, что это — термодинамически согласованные законы сохранения, записанные с помощью термодинамических потенциалов. Они приводят к симметрическим гиперболическим по Фридрихсу уравнениям. Эта гиперболичность обеспечивает корректность. Допустимые разрывные решения выделяются требованием возрастания энтропии.
   В последние годы, начиная с 1963 г., делались попытки применить основанную на тех же принципах методику при моделировании процесса сварки металлических пластин с помощью взрыва и выявить причину волнообразования на сварном шве (задача была поставлена М. А. Лаврентьевым). Для этого пришлось вместо уравнений газовой динамики использовать уравнения нелинейной теории упругости, внеся в них корректировку для моделирования пластических деформаций, позволившую рассчитать .затопленную струю., примыкающую к зоне сварки (ее наличие было обнаружено еще в начале 70-х годов при сравнении первых, еще чисто гидродинамических, расчетов с экспериментом).
   Будут продемонстрированы результаты реализованных упруго-пластических расчетов, которые заканчиваются аварийным остановом, свидетельствующим о том, что процесс выходит из зоны корректности применяемых уравнений. Объяснение этого эффекта вытекает из результатов моделирования того же процесса при помощи молекулярной динамики, выполненного С. П. Киселевым в ИТПМ им. Христиановича СО РАН. Будут приведены картинки с результатами этих расчетов, также как и некоторые изображения натурных экспериментов выполненных в Институте гидродинамики им. Лаврентьева СО РАН В. И. Мали.

Фотогалерея

 18 марта 2014 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А. Г. Кузнецов
Полуортогональные разложения производных категорий когерентных пучков

Аннотация. Я расскажу о производных категориях когерентных пучков и их полуортогональных разложениях. Это достаточно молодое направление алгебраической геометрии, которое открывает неожиданные связи между многообразиями и позволяет делать интересные и неочевидные выводы о их геометрии. Например, существенная часть производных категорий некоторых совершенно разных трехмерных многообразий Фано, оказывается одинаковой. Или обнаруживается связь между четырехмерной кубической гиперповерхностью и поверхностями типа K3 (и то и другое — совершенно классические объекты алгебраической геометрии), причем оказывается бирациональные свойства кубики тесно связаны с категорными свойствами соответствующей K3-поверхности. Здесь много красивых и неожиданных результатов, но еще больше вопросов. Я постараюсь построить свой рассказ без излишних технических деталей, чтобы он был понятен достаточно широкой аудитории.

Фотогалерея

 11 марта 2014 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Д. А. Тимашев
Алгебраические группы преобразований и эквивариантная симплектическая геометрия

Аннотация. За последние пару десятилетий наметилось активное взаимодействие между такими изначально не самыми близкими друг к другу областями математики как алгебраическая геометрия и симплектическая геометрия. В докладе будет рассказано о некоторых аспектах этого взаимодействия, в которых участвуют алгебраические группы преобразований.
   С середины 80-х годов XX в., начиная с пионерской работы Луны-Вюста (1983), активно развивается теория эквивариантных компактификаций (более общо, открытых вложений) однородных пространств редуктивных алгебраических групп. Важные инварианты, играющие роль в теории, – сложность действия редуктивной группы $G$, определяемая как коразмерность типичной орбиты борелевской подгруппы $B\lt G$, и ранг действия, который можно определить как ранг фундаментальной группы типичной $B$-орбиты. В работах Кнопа 90-х годов была обнаружена связь между этими и другими инвариантами $G$-многообразия, с одной стороны, и симплектическими инвариантами индуцированного гамильтонова действия группы $G$ на его кокасательном расслоении, с другой стороны.
   Многообразия сложности 0, называемые сферическими, допускают наиболее интересную и содержательную теорию. Они содержат открытую $G$-орбиту – сферическое однородное пространство. К их числу относятся многие классические пространства – многообразия флагов, симметрические пространства и др. Сферические пространства естественно возникают и в эквивариантной симплектической геометрии – одна из их характеризаций заключается в коммутативности алгебры инвариантных функций на кокасательном расслоении относительно скобки Пуассона. Это свойство и его «квантовая» версия – коммутативность алгебры инвариантных дифференциальных операторов на однородном пространстве – имеют важные приложения в гармоническом анализе. Класс однородных пространств с этим свойством активно изучался еще в прошлом веке (Гельфанд, Хелгасон), а в прошлом десятилетии – Винбергом и его учениками.
   Результаты о структуре гамильтоновых действий редуктивных групп на кокасательных расслоениях делают естественным рассмотрение более общего класса гамильтоновых алгебраических многообразий. В совместных работах В. С. Жгуна и докладчика рассматривались гамильтоновы многообразия с инвариантными лагранжевыми подмногообразиями. Было показано, что они весьма близки по своим свойствам к кокасательным расслоениям указанных подмногообразий, в частности, у них совпадают образы отображения моментов. Обобщение этих результатов на некоторые коизотропные подмногообразия позволило бы концептуально доказать известную гипотезу Элашвили об индексах централизаторов элементов полупростой алгебры Ли, имеющую значение в теории интегрируемых систем.
   Необходимые понятия будут по мере возможности введены и проиллюстрированы примерами в ходе доклада.

Фотогалерея

 18 февраля 2014 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

С. И. Адян
Новые оценки нечётных периодов, при которых свободные бернсайдовы группы бесконечны

Аннотация. В докладе будет рассказано о современном состоянии исследований по известной проблеме Бернсайда о периодических группах. Отрицательное решение этой проблемы было впервые опубликовано в 1968 году в совместной работе П. С. Новикова и докладчика для нечётных периодов $n>4381$, а значит, и всех кратных им периодов.
   Будут изложены основные идеи и определения усовершенствованного автором в последние годы варианта доказательства бесконечности свободных периодических групп достаточно большого нечётного периода. Новое доказательство позволяет понизить известную до сих пор нижнюю границу периодов с 665 до 101. Граница 665 для нечётных периодов была установлена докладчиком в его монографии 1975 года и с тех пор никем не была улучшена. В изданной в 1982 году и переведённой на русский язык монографии В. Магнуса и Б. Чандлера по истории комбинаторной теории групп было отмечено, что проблема Бернсайда по своему влиянию на теорию групп аналогична известной проблеме Ферма в теории чисел, а решение этой проблемы, изложенное в монографии С. И. Адяна, было названо «возможно, самой трудной для чтения среди всех работ по математике, которые когда-либо были написаны». Новое доказательство существенно проще и короче того, что было опубликовано в 1975 году.

Фотогалерея

 24 декабря 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

В. А. Быковский
Дискретные обмотки тора и приложения

Аннотация. В 1782 году, в работе о вековых возмущениях долготы перегелия планетных орбит, Лагранж ввел понятие «среднего движения».
   Изучение этого вопроса в работах Боля, Серпинского и Германа Вейля привело к созданию теории равномерного распределения дискретных обмоток на торе.
   В конце 50-х годов XX века это направление исследований оказалось в центре внимания специалистов в связи с задачей построения эффективных квадратурных формул для вычисления кратных интегралов. В работах Коробова, Пятецкого-Шапиро, Бахвалова, Главки и других, дискретные обмотки тора были положены в основу численных методов решения интегральных уравнений из теории переноса нейтронов.
   В докладе будет рассказано о новых результатах по этому направлению исследований на стыке теории чисел и прикладной математики.

 10 декабря 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Е. А. Горский
Гомологии алгебраических узлов

Аннотация. Алгебраический узел (или зацепление) определяется как пересечение плоской комплексной алгебраической кривой с маленькой сферой с центром в её особенности. Недавно А. Обломков, Дж. Расмуссен и В. Шенде предложили ряд гипотез, описывающих полиномиальные (многочлены Джонса и ХОМФЛИ) и гомологические (гомологии Хованова–Розанского) инварианты алгебраических узлов в терминах геометрии некоторых пространств модулей на соответствующей кривой. С другой стороны, в совместной работе с И. Лосевым и П. Этингофом мы установили связь между характерами некоторых представлений рациональных алгебр Чередника и многочленами ХОМФЛИ торических узлов.
   Я расскажу об этих результатах и о связи между двумя подходами. Специальных знаний для понимания доклада не требуется.

Фотогалерея

 3 декабря 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

С. И. Адян
Новые оценки нечётных периодов, при которых свободные бернсайдовы группы бесконечны

Аннотация. В докладе будет рассказано о современном состоянии исследований по известной проблеме Бернсайда о периодических группах. Отрицательное решение этой проблемы было впервые опубликовано в 1968 году в совместной работе П. С. Новикова и докладчика для нечётных периодов $n>4381$, а значит, и всех кратных им периодов.
   Будут изложены основные идеи и определения усовершенствованного автором в последние годы варианта доказательства бесконечности свободных периодических групп достаточно большого нечётного периода. Новое доказательство позволяет понизить известную до сих пор нижнюю границу периодов с 665 до 101. Граница 665 для нечётных периодов была установлена докладчиком в его монографии 1975 года и с тех пор никем не была улучшена. В изданной в 1982 году и переведённой на русский язык монографии В. Магнуса и Б. Чандлера по истории комбинаторной теории групп было отмечено, что проблема Бернсайда по своему влиянию на теорию групп аналогична известной проблеме Ферма в теории чисел, а решение этой проблемы, изложенное в монографии С. И. Адяна, было названо «возможно, самой трудной для чтения среди всех работ по математике, которые когда-либо были написаны». Новое доказательство существенно проще и короче того, что было опубликовано в 1975 году.

Фотогалерея

 19 ноября 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

И. М. Кричевер
Вещественно-нормированные дифференциалы в задачах теории интегрируемых систем и алгебраической геометрии

Аннотация. Общее понятие вещественно-нормированных дифференциалов, первоначально введенное докладчиком в рамках спектральной теории периодических операторов, оказалось ключевым при построении аналога теории Фурье–Лорана на алгебраических кривых, в теории Уизема, в теории Зайберага–Виттена. В докладе будет представлен обзор основных конструкций, связанных с вещественно-нормированными дифференциалами, и ряда открытых задач, возникших при попытках использования этих дифференциалов для решения классических проблем алгебраической геометрии.

Фотогалерея

 5 ноября 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А. С. Хорошкин
Алгебраические операды: определения и методы работы

Аннотация. Алгеброй обычно называется множество с каким-то набором операций на нем, удовлетворяющим некоторым естественным законам. Если забыть про множество и рассматривать только операции на нем, то полученный объект называется операдой.
   Я дам обзорный доклад, в котором будет дано формальное определение операды, приведены примеры, рассказаны методы работы с ними и немного приложений.

 22 октября 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Ю. В. Василевский
Автоматизированные технологии построения неструктурированных расчетных сеток

Аннотация. В докладе представлен набор алгоритмов и программный инструментарий для надежного построения треугольных и тетраэдральных сеток с регулярными ячейками в областях сложной формы, которые могут быть заданы различными способами.
   Построенные неструктурированные сетки могут быть измельчены с помощью методов локального измельчения сетки. При этом выбранные пользователем треугольные или тетраэдральные ячейки разбиваются на две подъячейки, также как и некоторые соседние ячейки, что гарантирует конформность результирующей сетки. Будучи примененной несколько раз, эта процедура обеспечивает многоуровневое локальное измельчение, в ходе которого качество новых ячеек может ухудшиться лишь незначительно. Более того, измельченные сетки допускают многоуровневое локальное разгрубление согласно правилам, установленным пользователем, что обеспечивает построение динамически адаптируемых сеток, отслеживающих движущиеся особенности сеточного решения.
   Неструктурированные сетки можно перестраивать полностью через последовательность локальных модификаций сетки. Такой подход обладает наибольшими возможностями по сравнению с иерархическим измельчением сетки, поскольку позволяет строить анизотропные сетки. Анизотропная адаптация уменьшает или увеличивает размеры ячеек в выделенных направлениях, что является разумным для решений с анизотропными особенностями.
   Автоматизированные алгоритмы адаптивного перестроения расчетных сеток требуют управления свойствами этих сеток с помощью индикаторов апостериорной ошибки, а также скалярных или тензорных функций контроля за размером и/или вытянутостью ячеек.
   Все перечисленные выше технологии построения расчетных сеток реализованы в свободно распространяемых пакетах программ sf.net/projects/ani2d, sf.net/projects/ani3d, поэтому могут быть протестированы любым пользователем.
   Примеры неструктурированных сеток и некоторые их приложения приведены на странице http://dodo.inm.ras.ru/research/grids

 15 октября 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

М. Б. Скопенков
Дискретный комплексный анализ: результаты о сходимости

Аннотация. Под дискретизацией комплексного анализа понимается построение теории функций на решетке или ином дискретном множестве, которая в каком-либо смысле имитирует теорию комплексно-аналитических функций. Одним из важнейших аспектов дискретизации всегда является вопрос о сходимости к соответствующей непрерывной теории, так как он определяет возможность использования данной дискретизации в численных методах.
   Дискретизации для гармонических функций (которые, как известно, тесно связаны с комплексно-аналитическими) рассматривались еще в 1920-х годах в связи с численным решением уравнений математической физики. Различные дикретизации комплексного анализа строились Р. Исааксом–Ж. Ферранд–Р. Даффином–Х. Мерка (на четырехугольных решетках), И. А. Дынниковым–С. П. Новиковым (на правильной треугольной решетке), У. Терстоном (на узорах из окружностей). Они находят многочисленные приложения в комбинаторике, теории вероятностей и статистической физике.
   Для дискретизации на квадратной решетке сходимость дискретных гармонических функций к решениям задачи Дирихле для уравнения Лапласа была установлена Р. Курантом, К. Фридрихсом, Х. Леви и Л. Люстерником, а на ромбической — С. Смирновым и Д. Челкаком.
   Недавно докладчиком такая сходимость была доказана для дискретизации на четырехугольных решетках более общего вида (что решило задачу, поставленную С. Смирновым). Совместно с А. Бобенко была построена дискретизация абелевых интегралов и доказана сходимость дискретных матриц периодов к их непрерывным аналогам. Об этих результатах и пойдет речь в докладе.
   Для понимания доклада специальных знаний не требуется.

 24 сентября 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

1. Отчет Правления ММО о работе за год.

2. Доклад: В. А. Васильев
Лемма Ньютона об интегрируемых овалах и группы, порожденные отражениями

Аннотация. Лемма 28 из «Начал» Ньютона гласит, что на плоскости не существует выпуклых ограниченных областей с гладкой границей, таких что площади, отсекаемые от области всевозможными аффинными прямыми, определяют алгебраическую функцию на пространстве прямых. Этот факт контрастирует с теоремой Архимеда, согласно которой объем, отсекаемый плоскостью от шара, определяет алгебраическую функцию на пространстве плоскостей в трехмерном пространстве (это же верно для любых эллипсоидов в любых нечетномерных пространствах). Около 25 лет назад лемму Ньютона удалось доказать для выпуклых областей в любых четномерных пространствах и для невыпуклых плоских областей. В докладе будет рассказано недавнее доказательство аналогичного факта для произвольных областей с гладкой границей во всех четномерных пространствах. Доказательство основано на теории Пикара–Лефшеца и элементарных фактах о группах, порожденных отражениями.

 9 апреля 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Tudor Ratiu
Liquid crystal theories

Аннотация. I will present the two competing theories of liquid crystals, widely used today: Ericksen-Leslie nematodynamics and Eringen micropolar theory. Nematodynamics describes the evolution of liquid crystals in the nematic phase, that is, the molecules exhibit a preferred direction. Micropolar theory regards the molecules as elastic small bodies. These two competing sets of equations will be presented only in conservative form in order to understand their geometric underpinning. Methods of geometric mechanics will be used in order to show their Hamiltonian character.
   Then, I will sketch the solution of a 15 year old open problem, a statement of Eringen affirming that his theory includes the Ericksen-Leslie theory. This has never been proved to be true and papers attempting to show it are mathematically wrong. Our solution uses the theory of reduction in an essential way and gives a proof of this statement. In the process, two new equations for liquid crystals are developed, one of them generalizing Ericksen-Leslie in such a way that disclinations can be treated, something that the original Ericksen-Leslie equations could not do. The term disclinations appears in the liquid crystal theory and means certain discontinuities of some of the variables.
Видеозапись доклада: http://www.mathnet.ru/present6548.

Фотогалерея

 26 марта 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Ю. Г. Прохоров
Группа Кремоны и ее подгруппы

Аннотация. Группа Кремоны – это группа автоморфизмов поля рациональных функций от $n$ переменных над полем комплексных чисел. При $n=1$ группа Кремоны устроена просто – это в точности группа дробно-линейных преобразований комплексной плоскости. Ситуация становится существенно более сложной в размерностях $n>1$, однако в последнее время наметился прогресс и в этом направлении.
   В докладе планируется дать обзор классических результатов о строении двумерной группы Кремоны и наметить методы, используемые в высших размерностях. В частности, предполагается обсудить классификацию конечных простых подгрупп в трехмерной группе Кремоны.
   Специальных знаний от слушателей не требуется.
Видеозапись доклада: http://www.mathnet.ru/present6467.

Фотогалерея

 12 марта 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

С. В. Конягин
Восстановление разреженного вектора по линейным измерениям и $L$-аппроксимация

Аннотация. Доклад связан с теорией сжатых измерений ("Compressed Sensing" или "Compressed Sampling"), активное развитие которой в последнее время вызвано задачами, связанными с кодированием и передачей информации — например, мультимедиа (аудио и видео) в интернете, медицинские приложения (томография). Одной из основных проблем теории сжатых измерений является восстановление разреженного вектора (т.е. вектора с небольшим количеством ненулевых координат) по ограниченному числу линейных измерений. В докладе будет обсуждена возможность эффективного решения данной задачи.
Видеозапись доклада: http://www.mathnet.ru/present6374.

Фотогалерея

 5 марта 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А. А. Глуцюк
О периодических орбитах в плоских комплексных бильярдах

Аннотация. Гипотеза В. Я. Иврия (1980 г.) утверждает, что во всяком бильярде в евклидовом пространстве с кусочно-бесконечногладкой границей множество периодических орбит имеет меру нуль. Эта гипотеза тесно связана с гипотезой Германа Вейля (1911 г.) из спектральной теории: об асимптотике собственных значений задачи Дирихле для оператора Лапласа.
   Частный случай гипотезы Иврия для треугольных орбит был доказан в нескольких работах, в первую очередь, М. Рыхликом (1989 г.) в размерности два и Я. Б. Воробцом (1994 г.) в любой размерности. Частный случай для четырёхугольных орбит в размерности два доказан в совместной работе Ю. Г. Кудряшова и докладчика. Гипотеза Иврия для случая кусочно-аналитической границы открыта, и считается, что этот случай является основным. Новый подход к ней состоит в изучении аналитического продолжения границы и преобразования бильярда в комплексную область.
   В докладе будет обсуждена двумерная комплексная гипотеза Иврия о периодических орбитах в бильярде, порожденном конечным набором плоских голоморфных кривых. Оказывается, что она не верна уже в случае четырёхугольных орбит. Однако в этом случае удается описать контрпримеры: единственные нетривиальные контрпримеры образованы парами софокусных коник. Будет доказан положительный ответ для орбит нечетного периода в случае алгебраических зеркал, не проходящих через две специальные точки на бесконечности. Если время позволит, будет обсуждена связь с другим аналогом гипотезы Иврия: задачей о невидимости.

Фотогалерея

 26 февраля 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

С. О. Горчинский
Параметризованная дифференциальная теория Галуа

Аннотация. Классическая теория Галуа изучает группы симметрий решений алгебраических уравнений. Дифференциальная теория Галуа изучает группы симметрий решений линейных дифференциальных уравнений. В докладе речь пойдет о так называемой параметрической дифференциальной теории Галуа, изучающей группы симметрий решений линейных дифференциальных уравнений с параметрами. Возникающие при этом группы симметрий задаются дифференциальными уравнениями на функции от параметров.
   Глубоко нетривиальным результатом в данной теории является существование аналога поля разложения многочлена, так называемого (параметрического) расширения Пикара–Вессио. В качестве небольшого приложения мы покажем, что неполная гамма-функция не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению по параметру.
   Специальных знаний у слушателей не требуется.

Фотогалерея

 12 февраля 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

М. И. Зеликин, Л. В. Локуциевский, Р. Хильдебранд
Стохастическая динамика алгебр Ли скобок Пуассона в окрестности точек негладкости гамильтониана

Аннотация. Предмет доклада — структура решений гамильтоновых систем с непрерывным негладким гамильтонианом. В этом случае решение существует, но необязательно единственно.
   Мы изучаем воронки решений, проходящих через точку на стыке трех областей гладкости гамильтониана, основываясь на исследовании эволюции алгебры Ли скобок Пуассона, образующими которой служат ограничения гамильтониана на области гладкости. У этой алгебры имеется обобщенно однородная градуировка, определяемая числом скобок Пуассона, необходимых для получения данной функции.
   На проективном пространстве, полученном после разрешения особенности воронки решений, (т.е. на фактор-пространстве гамильтоновой системы по масштабной группе) возникает динамическая система с фрактальными свойствами и стохастической динамикой, определяемой сдвигом Бернулли. Главная часть полученной динамической системы совпадает с системой уравнений Принципа максимума Понтрягина для модельной задачи оптимизации, аффинной по двумерному управлению с особыми решениями второго порядка. Оптимальный синтез, построенный для модельной задачи, дает структуру решений исходной гамильтоновой системы. Мы вычисляем энтропию и хаусдорфову размерность множества неблуждающих оптимальных точек фактор-системы, которое имеет структуру канторова множества, подобного подкове Смейла. Также мы описываем ее динамику с помощью топологической цепи Маркова и доказываем теорему о структурной устойчивости.
   Все необходимые понятия будут определены и объяснены в процессе доклада.

Фотогалерея

 18 декабря 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

С. Иванов
Минимальность плоскостей в нормированном пространстве

Аннотация. Рассмотрим в конечномерном нормированном пространстве $X$ двумерный диск, лежащий в некоторой плоскости. Кажется очевидным, что такой диск должен быть «минимальной пленкой» в $X$, то есть иметь минимальную площадь среди всех ограниченных поверхностей с тем же краем. (Площадь поверхности в нормированном пространстве можно определить, например, как двумерную меру Хаусдорфа.) Однако эта минимальность — нетривиальный вопрос, остававшийся открытым более 50 лет, а для больших размерностей ответ неизвестен до сих пор. В докладе будет рассказано о решении этой задачи, некоторых приложениях, а также о неожиданных связях с краевыми обратными задачами. Результаты получены докладчиком совместно с Д. Бураго.

Фотогалерея

 4 декабря 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А. П. Шашкин
Функциональные предельные теоремы для мер множеств уровня гауссовского случайного поля

Аннотация. Доклад посвящен установлению новых асимптотических свойств случайных систем, возникающих на стыке теории случайных полей и стохастической геометрии. Так, важные задачи томографии и астрофизики приводят к изучению экскурсионных множеств и множеств уровня, порожденных случайными процессами и полями. Математическая теория этих случайных множеств началась с классических работ С. Райса и М. Каца, давших явные выражения для математического ожидания числа нулей гладкой случайной функции на отрезке. Эти результаты получили дальнейшее развитие в иследованиях Г. Крамера, М. Лидбеттера, Ю. К. Беляева, Д. Гемана, Р. Адлера, Дж. Тейлора, И. А. Ибрагимова, Д. Н. Запорожца. При этом для случайных полей основное внимание уделялось функционалам Минковского от экскурсионных множеств, в первую очередь эйлеровой характеристике и хаусдорфовой мере границы (т.е. мере множества уровня).
   Среди множества результатов в этой области важное место занимают различные формы центральной предельной теоремы для числа нулей гауссовских процессов (а для случайных полей — для хаусдорфовых мер множеств уровня). Здесь существенную роль играют современные методы, основанные на формулах коплощади и технике разложений Винера-Ито. Отметим вклад, который внесли Т. Малевич, Дж. Кузик, В. И. Питербарг, М. Кратц, Х. Леон и другие ученые.
   Если взять фиксированную область наблюдения и для каждого вещественного числа рассмотреть соответствующее множество уровня, то возникает случайный процесс на числовой оси, образованный мерами этих множеств. Интересный и нетривиальный вопрос состоит в том, можно ли для таких процессов получить функциональные предельные теоремы. Ранее С. Берман и А. И. Елизаров изучали лишь свойства сходного случайного процесса, который получается, если вместо мер множества уровня брать локальные времена. В докладе будет рассказано о недавних продвижениях автора в данном направлении. А именно, удалось установить асимптотическую гауссовость распределений должным образом нормированных случайных процессов, введенных выше, соответственно в гильбертовом пространстве функций на числовой прямой и в пространстве непрерывных функций.
   Для понимания доклада достаточно общих сведений, содержащихся в стандартных курсах теории вероятностей и случайных процессов.

Фотогалерея

 27 ноября 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Студенческие чтения

С. Ю. Оревков
Классификация систем ортогональных полиномов от двух переменных

Аннотация. Системой ортогональных полиномов в области принято называть множество собственных функций некоторого самосопряженного дифференциального оператора второго порядка на области в $R^n$, такого, что пространство многочленов степени не выше данной инвариантно относительно этого оператора.
   На прямой такие опрераторы есть в любой области. Таким образом строятся многочлены Якоби (если область – отрезок), Лагерра (если область – полупрямая) и Эрмита (если область – вся прямая).
   На плоскости годится не каждая область. В докладе будет рассказано, как описать все области, которые допускают построение системы ортогональных многочленов. Основной инструмент, используемый при решении этой задачи, – проективная двойственность и формулы Плюккера, определяющие некоторые соотношения между характеристиками кривой и ее двойственной.

Фотогалерея

 20 ноября 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А. А. Гайфуллин
Обобщение теоремы Сабитова на случай многогранников произвольной размерности

Аннотация. Классическая формула Герона выражает площадь треугольника через длины его сторон. Если же мы возьмём многоугольник с большим числом сторон, то его площадь не может быть выражена через длины его сторон, так как он может изгибаться с сохранением длин сторон и с изменением площади.
   Ситуация кардинально меняется в размерности 3. В 1996 году И. Х. Сабитов доказал, что объём любого симплициального многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве является корнем многочлена со старшим коэффициентом 1, остальные коэффициенты которого суть многочлены от квадратов длин рёбер многогранника. Следовательно, объём симплициального многогранника с данными комбинаторным строением и длинами рёбер может принимать лишь конечное число значений. Основное приложение этого результата относится к так называемой гипотезе о кузнечных мехах, которая утверждает, что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания. (Изгибаемый многогранник — многогранник с жёсткими гранями и шарнирами в рёбрах, который может изгибаться с изменением двугранных углов. Примеры таких многогранников были построены Р. Брикаром, Р. Коннелли, К. Штеффеном и др.) Из теоремы Сабитова следует, что гипотеза о кузнечных мехах верна в размерности 3.
   В течение долгого времени оставался открытым вопрос о том, верен ли аналог теоремы Сабитова в старших размерностях. В 2011 году докладчиком был доказан аналог теоремы Сабитова в размерности 4. Настоящий доклад посвящён недавнему результату докладчика, состоящему в том, что прямой аналог теоремы Сабитова верен для многогранников произвольной размерности $n>2$. Более того, то же утверждение верно не только для симплициальных многогранников, но и для всех многогранников с треугольными двумерными гранями.
   Основным инструментом доказательства является теория нормирований или, в другой терминологии, теория точек (places) полей. В докладе будет рассказано, как теория нормирований полей возникает в задаче о выражении объёма многогранника через длины его рёбер и каким образом на этом пути получается аналог теоремы Сабитова в произвольной размерности.

Фотогалерея

 30 октября 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

В. С. Рябенький
Математическая модель управления звуком и подавления шума

Аннотация. В докладе будет изложена теория управления решениями абстрактных систем линейных разностных уравнений, область определения которых разбита на две произвольные подобласти.
   Цель управляющего воздействия ("управления") состоит в том, чтобы изменить заданное число раз или погасить полностью влияние правых частей, локализованных в данной подобласти, на значения решения в другой подобласти. При этом, управление реализовано в виде дополнительного слагаемого в правой части исходной системы и имеет носитель на сеточной границе между подобластями.
   Эта теория может служить, в частности, математической моделью устройств для защиты акустического поля в заданной подобласти ("разговор в комнате с открытым окном") от внешнего ("уличного") шума. При этом моделируемое устройство содержит компьютер, а также сеть микрофонов и микродинамиков, расположенных на границе подобласти ("в проеме окна"). Компьютер обрабатывает данные микрофонов и выдаёт команду микродинамикам, звук которых защищает подобласть ("комнату") от ("уличного") шума. Возможность выделения и погашения шумового слагаемого, а также учёта условий вдали от границы ("вдали от проёма окна") достигается с помощью использования разностных потенциалов, а также встроенной в алгоритм управления разведки ключевой информации, предложенных докладчиком.

Фотогалерея

 23 октября 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

В. О. Мантуров
Четность в маломерной топологии

Аннотация. В комбинаторной топологии объекты исследования часто представляют собой классы эквивалентности диаграмм (например, диаграмм узлов) по стандартным перестройкам, т.н. движениям. При этом диаграммы могут иметь перекрестки (особенности, узловые точки, вершины). Многие стандартные проблемы такой теории удается решить, если имеется правильный способ разделения всех перекрестков на «четные» и «нечетные», такой что расположение четных и нечетных перекрестков правильно себя ведет при движениях. В частности, это позволяет находить и усиливать многочисленные комбинаторные инварианты, а также сводить вопросы об объектах теории к вопросам об их представителях.
   Основным примером такой теории будут виртуальные узлы (узлы в утолщенных двумерных поверхностях с точностью до изотопии и стабилизации), а также их резкое «упрощение» — свободные узлы, т.е. классы эквивалентности гомотопических классов кривых на двумерных поверхностях по некоторму «забывающему» соотношению.
   В 2004 году В.Г. Тураевым была высказана гипотеза о тривиальности свободных узлов. С помощью соображений четности автором была не только опровергнута гипотеза Тураева, но и доказано, что свободные узлы имеют нетривиальные классы кобордизмов. Нетривиальность кобордизмов свободных узлов имеет простым следствием существование пары (двумерная поверхность, погруженная в нее кривая), которые не могут быть представлены в виде края пары (трехмерное многообразие, собственный диск в этом многообразии со стандартными особенностями). Новое решение этой задачи, в отличие от исходного (Картер) использует только методы четности и элементарную теорию Морса.
   Недавно с помощью аналогичных методов автором и Л.Х. Кауфманом был построен ряд новых инвариантов гомотопических классов кривых на двумерных поверхностях, позволяющих судить о свойствах кривой по свойствам ее диаграммы.
   Будут обсуждаться вопросы о переносе методов четности на другие теории и большие размерности. Будет предложен ряд задач исследовательского характера.

Фотогалерея

 16 октября 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

А. Е. Миронов
Коммутирующие дифференциальные операторы

Аннотация. В докладе будет рассказано о задаче построения пар коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов. В конце 70-х годов И. М. Кричевер построил взаимно однозначное соответствие между такими парами, удовлетворяющими некоторым условиям общего положения, и наборами спектральных данных, которые состоят из алгебраической кривой, некоторой дополнительной структуры на ней и ранга — размерности пространства совместных собственных функций операторов при фиксированных собственных числах общего положения, от значения которого задача восстановления операторов зависит существенным образом.
     Так, в случае ранга 1 совместные собственные функции и коэффициенты операторов выражаются через тэта-функцию многообразия Якоби спектральной кривой. В случае же ранга больше 1 задача явного нахождения операторов в общем виде не решена до сих пор. Имеются следующие результаты в этом направлении. И. М. Кричевером и С. П. Новиковым найдены пары коммутирующих операторов ранга два, отвечающие эллиптическим спектральным кривым, О. И. Мохов нашел пары операторов ранга три, также отвечающие эллиптическим спектральным кривым.
     В докладе будет рассказано об одном методе построения пар коммутирующих операторов ранга два, отвечающих спектральным кривым произвольного рода. С помощью этого метода найдены примеры операторов с полиномиальными коэффициентами, задающие коммутативные подалгебры алгебры Вейля, с гладкими периодическими коэффициентами и другие.

Фотогалерея

 18 сентября 2012 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

Отчетно-выборное заседание Московского математического общества

ПОВЕСТКА ДНЯ
1. Отчет Правления
2. Отчет Ревизионной комиссии
3. Обсуждение
4. Выборы Правления и Ревизионной комиссии

В перерыве заседания, необходимом для подготовки выборов Правления и Ревизионной комиссии, состоится научный доклад:

В. А. Васильев
Порядковый комплекс наборов плоскостей

Аннотация. С любым частично упорядоченным множеством связан его порядковый комплекс – множество симплексов, вершины которых пробегают цепочки взаимно подчиненных элементов нашего множества. Такие комплексы естественно возникают при разрешении особенностей интересных алгебраических объектов. Например, с детерминантным множеством вырожденных квадратных матриц $N \times N$ над $R$, $C$ или $H$ связан порядковый комплекс множества всех собственных подпространств соответствующего $N$-мерного пространства; этот комплекс гомеоморфен сфере подходящей размерности. Я расскажу о более сложном порядковом комплексе, связанном с множеством всех наборов взаимно ортогональных подпространств размерности 2 или больше в $C^N$; он возникает при исследовании множества эрмитовых операторов с непростым спектром. Хотя имеется алгоритм вычисления его гомологий, общая компактная формула его полинома Пуанкаре для произвольного $N$, кажется, неизвестна.

Фотогалерея

2013/2012   |||   2012/2011   |||   2011/2010   |||   2010/2009   |||   2009/2008   |||   2008/2007   |||   2007/2006   |||   2006/2005   |||   2005/2004